0. 宏观角度切入抽象代数之群环域
0. 宏观角度切入抽象代数之群环域
集合论：现代数学的根基
现代数学的基础是集合论，集合论中最基本的概念：集合（set），关系（relation），函数（function）,等价（equivalence）在其他数学分支的语言中几乎必然存在的。The Bourbaki school 将 mathematical structures 分为三类：Order structures，Algebraic structures，Topological structures，他们都是基于 set theory 的，更高阶的数学结构基本上可以归为这三种基本类型的组合。
下图是另一种更为详尽的分类：
在集合论的基础上，现代数学有两大家族：分析(Analysis)和代数(Algebra)。至于其它的，比如几何和概率论，在古典数学时代，它们是和代数并列的，但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上，因此从现代意义说，它们和分析与代数并不是平行的关系。
分析学：主要涉及微积分，实分析，拓扑学，微分几何 代数学：主要涉及线性代数，李代数
本文以下从三种结构分类切入抽象代数
Order structures: 数的相对多少，大小，例如：自然数
Algebraic structures an algebraic structure consists of a nonempty set A, a collection of operations on A (typically binary operations such as addition and multiplication), and a finite set of identities, known as axioms, that these operations must satisfy. 代数结构：set of specific objects + corresponding operations(类似计算机的数据结构：数据+操作) 代数主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。
- elementary algebra elementary algebra 只考虑实数和复数代数结构，不考虑其之外的代数领域。
- abstract algebra
group，ring，field
Topological structures:
topology concerns with the properties of a geometric object that are preserved under continuous deformations, such as stretching, twisting, crumpling, and bending;
Abstract Algebra
抽象代数(abstract algebra)、近世代数、现代代数(modern algebra)指的都是同一个意思(甚至直接称为代数学)。抽象代数主要研究对象是代数结构，包括群、环、域、向量空间。
伽罗瓦(Évariste Galois, 1811-1832)是现代群论的创始人(与阿贝尔独立发明)，他利用群的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题(称为伽罗瓦理论)，系统阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解，使代数学从解方程的科学转变为研究代数结构的科学，即把代数推广到抽象代数。
抽象代数有在一些基础定理的基础上，进一步的研究往往分为两个流派：研究有限的离散代数结构（比如有限群和有限域），这部分内容通常用于数论，编码和整数方程这些地方；另外一个流派是研究连续的代数结构，通常和拓扑与分析联系在 一起（比如拓扑群，李群），我的研究主要涉及有限的离散代数结构，群环域等。
线性代数
现代代数的入门点则是两个部分：线性代数(linear algebra)和基础的抽象代数(abstract algebra)。线性代数是抽象代数特殊的一类，其代数结构为：向量空间(vector spaces，也叫线性空间) + 线性变换(linear mappings)。
对于做 learning，statistic 的，接触最多的就是线性代数。线性代数，包括建立在它基础上的各种学科，最核心的两个概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位和连续函数在分析中的地位，或者同态映射在群论中的地位是一样的 —— 它是保持基础运算（加法和数乘）的映射。
在 learning 中有这样的一种倾向——鄙视线性算法，标榜非线性。也许在很多场合下面，我们需要非线性来描述复杂的现实世界，但是无论什么时候，线性都是具有根本地位的。没有线性的基础，就不可能存在所谓的非线性推广。我们常用的非线性化的方法包括流形和 kernelization，这两者都需要在某个阶段回归线性。
初等代数–>抽象代数
抽象代数将初等代数的一些概念延伸。
- 数 -> 集合
集合在朴素集合论(naive set theory)和公理化集合论(axiomatic set theory)的定义是不一样的，前者指由一些元素组成；后者指具有某种特定性质事物的总体。
抽象代数考虑的集合是 a collection of all objects + specific property
Rather than just considering the different types of numbers, abstract algebra deals with the more general concept of sets: a collection of all objects (called elements) selected by property specific for the set.
(2)+ -> 二元运算
加号 + 被抽象为二元运算(binary operation)，对两个元素作二元运算，得到的新元素仍然属于该集合，这叫封闭性 (closure)。实际上，加减乘除都叫二元运算 (二元指的是两个操作数)
(3)0/1 –> 单位元
0 和 1 被抽象成单位元(identity elements)，0 为加法单位元，1 为乘法单位元。单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素，即满足 ae = a 与 ea = a。可见，单位元取决于元素与二元运算，如矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵。值得注意的是，有些集合不存在单位元
- 负数 –> 逆元素
负数推广到逆元素(inverse element)，对于加法，a 的逆元素是-a；对于乘法，a 的逆元素是倒数 a−1。直观地说，逆元可以撤销操作，如加了一个数 a，再加上该数的逆元-a(相当于撤消操作)，结果还是一样。
(5)结合律
结合律(Associative
property)是某些二元运算的性质，a*(b*c) = a*(b*c)，有些二元运算没有结合律(如减法、除法、
(6)交换律
交换律(Commutative property)，改变二元运算符两边的元素不影响结果。并不是所有二次元运算都满足交换律(如矩阵的乘法)
群,环,域
首先放一张总结图以供快速查阅：
群论
原群 (magma)是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合 M，即封闭性:
MxM->M。半群 (Semigroup) 满足结合律(associative property)的代数结构。V=<S，_ >，其中二元运算
_是可结合的，即(a*b)*c=a*(b*c)，则称 V 是半群。幺半群 (monoid) 在半群的基础上，还需要满足有一个单位元。
群 群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：
封闭性：
a * bis another element in the set 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)单位元：a * e = a and e * a = a逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a或写作a^(-1)(对于所有元素)整数加法 (Z,+)就是一个群
阿贝尔群(交换群) 阿贝尔群(Abelian Group)在群的基础上，还需满足交换律。如整数集合和加法运算，(Z,+)，是一个阿贝尔群。
交换律：
a + b = b + a
一个群的阶是指其元素的个数； 一个群内的一个元素 a 之阶（有时称为周期）是指会使得 \(am = e\) 的最小正整数 m（其中的 e 为这个群的单位元素，且 am 为 a 的 m 次幂）。 若没有此数存在，则称 a 有无限阶。 有限群的所有元素都有有限阶。
环论
环在交换群基础上，进一步限制条件，区别于群论，环是针对一个集合的两种运算的。
环(ring) 在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理：
- (R, +)是交换群
封闭性：a + b is another element in the set
结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 单位元：加法的单位元为
0，a + 0 = a and 0 + a = a 逆 元：加法的逆元为
-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)
交换律：a + b = b + a
- (R, ·)是幺半群
封闭性：a ⋅ b is another element in the set 结合律：(a ⋅
b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) 单位元：乘法的单位元为 1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a =
a
(3)乘法对加法满足分配律 Multiplication distributes over addition
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) for all a, b, c in R
(left distributivity) (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a) for
all a, b, c in R (right distributivity)
交换环: 交换环(commutative ring)在环的基础上，二元运算乘法还满足交换律。
域
域是一种可以进行加减乘除(除 0 以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。
域是 由同一集合的两个运算的交换群组成
总结
群：一个运算符；环域：两个运算符
在主要的代数结构中，最简单的是群(Group)——它只有一种符合结合率的可逆运算，通常叫“乘法”。如果，这种运算也符合交换率，那么就叫阿贝尔群 (Abelian Group)。如果有两种运算，一种叫加法，满足交换率和结合率，一种叫乘法，满足结合率，它们之间满足分配率，这种丰富一点的结构叫做环(Ring)， 如果环上的乘法满足交换率，就叫可交换环(Commutative Ring)。如果，一个环的加法和乘法具有了所有的良好性质，那么就成为一个域(Field)。基于域，我们可以建立一种新的结构，能进行加法和数乘，就构成了线性代数(Linear algebra)。
