1. 群的性质与常见群
1. 群的性质与常见群
群的阶
群 G 的阶（order）定义为群所含元素的个数，用符号表示为: |G| 或 ord(G)。
如果 G 的元素为无限个，则称为无限群，其阶为无限大。如果元素为有限个，则称为有限群。
群里面的元素也定义了阶，群里面任意元素 a 的阶定义为最小的正整数 ，使得 \(a^m = e\)，其中 e 为群的单位元。如果这样的正整数 m 不存在，则表示 a 的阶为无限大。元素 a 的阶用符号表示为：|a| 或 ord(a)。
求幂
给定群（G，·）对任意一个元素 a 应用 n 次运算符 “·”，表示为 \(a^n = a··a·a···a\)
\(a^n\) 叫做 a 的 n 次幂。注意定义在群 (G,·) 上的 \(a^n\) 不能单纯的理解为平时所见的乘方。它表示在一个元素上对抽象的二元运算的重复多次使用。
例如当 G 表示定义在加法上的群时，\(a^n = a+a+···+a\)。
从范畴论看 group 关系
范畴论是研究特定对象集合以及他们之间关系的理论。A Category is the content of a specific ”set” of things and the possible connections between things.
Category theory is a general theory of mathematical structures and their relations. A category is formed by two sorts of objects: the objects of the category, and the morphisms, which relate two objects called the source and the target of the morphism.
范畴论将 set 推广：The category Set contains all sets and all possible functions between sets。
Group Homomorphism
当我们研究 group 的时候，研究 "category of group" 以及 "functions between group" 是非常自然的事情，因此就有了：
Homomorphism（同态映射）: Suppose (G,◦) and (H,·) two groups. a function ϕ:G →H is a Homomorphism iff ∀ x,y∈G, ϕ(x◦y)=ϕ(x)·ϕ(y)
因此，The category Grp contains all groups and all possible homomorphism between groups.
同态映射在群论中的地位 相当于线性变换在线性代数的地位，它是保持基础运算（加法和数乘）的映射。
若同态映射是一个双射，称为 Isomorphism 同构: A homomorphism ϕ: G→H is a Isomorphism ⇐⇒ it is bijective i.e. there is a one-to-one correspondence of elements between their underlying sets.
循环群
循环群是一种很重要的群，也是已被完全解决了的一类群。 其定义为若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘方，则称 G 为循环群，记作 G=(a)，a 称为 G 的一个生成元。
循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型，有限与否与循环与否无对应关系，是两种独立的不同特征。
若 G 为 g 生成的 n 阶有限循环群，那么集合 G 可以写作 \(\{e, g, g^2, g^3,···,g^{n-1}\}\), 其中 \(e=g^0=g^n\), e 为群的单位元。
对群 G 里面的任意元素 a 不断求幂都可以生成一个群，用符号 表示。 既可能是有限群，也可能是无限群。
设(a)是一个循环群， (1)若 |a|=∞，则(a)与整数加群 Z 同构； (2)若 |a|=n，则(a)与模 n 的剩余类加群 Zn 同构。 因此，从同构角度来看，循环群本质上只有两个：有限循环群和无限循环群
设 G 为 g 生成的 n 阶有限循环群,G 的任一元素可以表示为 \(g^k\), 其阶由以下公式给出： \[\operatorname{ord}\left(g^k\right)=\frac{n}{\operatorname{gcd}(k, n)}\]
欧拉函数：对正整数 n，欧拉函数 \(\phi(n)\) 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目
n 阶有限循环群生成元的个数为 \(\phi(n)\)
任何无限阶循环群是同构于整数加群， 任何有限阶循环群同构于模 n 剩余类加群。同构保持交换性，而 a,b 均可交换，因此任何循环群都是交换群（阿贝尔群）
常见群环域结构
- 整数加群 (Z,+) 整数集对于整数的加法构成整数加群 ，其单位元为 0，逆元为一个数的相反数。
- 整数乘法是幺半群，不存在逆元，不构成群。
- 矩阵加法构成群，矩阵乘法一般不存在逆元以及不满足交换律矩阵乘法，是幺半群。
- 整数加法与乘法
(Z,+,*), 矩阵(M_n,+,*)构成环。 - 非零模素数 p 整数有限域 GF(p)
- 非零有理数乘法群 \((Q^*，·)\),对普通乘法构成阿贝尔群。整数集对于整数的乘法不构成群，因为并不是所有的整数在乘法意义下都有逆元。整数通过加乘法逆元扩展到非零有理数群，才构成群。
- 非零实数乘法群 \((R^*, ·)\) 或 \[\mathbb{R}^{\times}=\mathbb{R} \backslash\{0\}\]
- 矩阵关于加法和乘法 \[\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),+, \times\right)\]构成了一个环，但是一般情况下，矩阵并不构成域。在矩阵的情况下，加法和乘法通常满足结合律和分配律，但不满足交换律和存在逆元素。可逆矩阵（或称为非奇异矩阵）关于加法和乘法构成域，这个域称为可逆矩阵域或者通常称为一般线性群
