数值方法/数值分析

《计算方法-数值分析与程序设计》-(Introduction to Numerical Analysis and Scientific Computing

还有近似计算，随机算法，凸优化

插值法是逼近论中的一种基本方法。多项式插值是整个数值逼近的基础,但是高次插值产生的 Runge 现象限制了它的应用。有理插值的收敛速度较多项式快,它适合于逼近有极点的函数

基本类型有：pln（多项式函数插值）、trig（三角函数）、exp（指数函数）、rational（有理函数）、splines（分段函数）、Hermite（埃尔米特）

不同插值方法的区别在于插值函数 p(x) 的选取。

方法补充说明

多项式几何上可理解为：已知平面上 n+1 个不同点，要寻找一条 n 次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。注意：因多项式函数插值存在龙格现象（下图所示），故尽可能选取 5 次及以下多项式函数插值。
三角函数当被插函数是以 2π 为周期的函数时，通常用 n 阶三角多项式作为插值函数，一般要运用傅里叶变换及高斯三角插值表出。
指数函数分析爆炸性增长现象或放射性元素衰减时常被采用
有理函数有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。在数学中，理性函数是可以由有理分数定义的任何函数，即代数分数，使得分子和分母都是多项式。
分段函数（三次样条插值法）连续两端接入节点的函数值和导数相等
埃尔米特这类插值在给定的节点处，不仅要求插值多项式的函数值与原函相同，还要求在节点处的导数值甚至高阶导数值也相等。即要求与原函光滑程度高度相似。注意：直接使用 Hermite 插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)。